คณิตศาสตร์

ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน

คู่อันดับ (Order Pair) เป็นการจับคู่สิ่งของโดยถือลำดับเป็นสำคัญ เช่น คู่อันดับ a, b จะเขียนแทนด้วย (a, b) เรียก a ว่าเป็นสมาชิกตัวหน้า และเรียก b ว่าเป็นสมาชิกตัวหลัง (การเท่ากับของคู่อันดับ) (a, b) = (c, d) ก็ต่อเมื่อ a = c และ b = d ผลคูณคาร์ทีเชียน (Cartesian Product) ผลคูณคาร์ทีเซียนของเซต A และเซต B คือ เซตของคู่อันดับ (a, b) ทั้งหมด โดยที่ a เป็นสมาชิกของเซต A และ b เป็นสมาชิกของเซต B สัญลักษณ์ ผลคูณคาร์ทีเซียนของเซต A และเซต B เขียนแทนด้วย A x B หรือ เขียนในรูปเซตแบบบอกเงื่อนไขจะได้ว่า ความสัมพันธ์ (Relation) r เป็นความสัมพันธ์จาก A ไป B ก็ต่อเมื่อ r เป็นสับเซตของ A x B โดเมน (Domain) และ เรนจ์ (พิสัย) (Range) โดเมน (Domain) ของความสัมพันธ์ r คือ เซตที่มีสมาชิกตัวหน้าของทุกคู่อันดับในความสัมพันธ์ r ใช้สัญลักษณ์แทนด้วย Dr ดังนั้น Dr = {x | (x, y) ε r} เรนจ์ (Range) ของความสัมพันธ์ r คือ เซตที่มีสมาชิกตัวหลังของทุกคู่อันดับในความสัมพันธ์ r ใช้สัญลักษณ์แทนด้วย R rดังนั้น Rr = {y | (x, y) ε r} หลักเกณฑ์ในการพิจารณาหาโดเมนและเรนจ์ในความสัมพันธ์ r ลักษณะของความสัมพันธ์ วิธีหาโดเมน วิธีหาเรนจ์ เซตแบบแจกแจงสมาชิก พิจารณาสมาชิกตัวหน้าของทุกคู่อันดับในความสัมพันธ์ r พิจารณาสมาชิกตัวหลังของทุกคู่อันดับในความสัมพันธ์ r เซตแบบบอกเงื่อนไข เปลี่ยนเป็นเซตแบบแจกแจงสมาชิกแล้วพิจารณาสมาชิกตัวหน้าของทุกคู่อันดับในความสัมพันธ์ r พิจารณารูปแบบของเงื่อนไขแล้วจัด y ให้อยู่ในรูป x แล้วหาค่า x ที่ทำให้ y เป็นจริงตามเงื่อนไข เปลี่ยนเป็นเซตแบบแจกแจงสมาชิกแล้วพิจารณาสมาชิกตัวหลังของทุกคู่อันดับในความสัมพันธ์ r พิจารณารูปแบบของเงื่อนไขแล้วจัด x ให้อยู่ในรูป y แล้วหาค่า y ที่ทำให้ x เป็นจริงตามเงื่อนไข กราฟ พิจารณาค่าของ x ทั้งหมดบนแกน X ที่ใช้ในการเขียนกราฟ พิจารณาค่าของ y ทั้งหมดบนแกน Y ที่ใช้ในการเขียนกราฟ ตัวผกผันของความสัมพันธ์ (Inverse of Relation) อินเวอร์สของความสัมพันธ์ r คือ ความสัมพันธ์ซึ่งเกิดจากการสลับที่ของสมาชิกตัวหน้าและสมาชิกตัวหลังในแต่ละคู่อันดับที่เป็นสมาชิกของ r สัญลักษณ์ อินเวอร์สของความสัมพันธ์ r เขียนแทนด้วย r-1 เขียน r-1 ในรูปเซตแบบบอกเงื่อนไขได้ดังนี้ r-1 = {(x, y) | (y, x) ε r} ถ้า r เป็นความสัมพันธ์จาก A ไป B แล้ว r-1 จะเป็นความสัมพันธ์จาก B ไป A

ฟังก์ชันขั้นบันได ฟังก์ชัน (Function) คือ ความสัมพันธ์ ซึ่งในสองคู่อันดับใด ๆ ของความสัมพันธ์นั้น ถ้ามีสมาชิกตัวหน้าเท่ากันแล้ว สมาชิกตัวหลังต้องไม่แตกต่างกัน หรือ ฟังก์ชัน คือ ความสัมพันธ์ ซึ่งในสองคู่อันดับใด ๆ ของความสัมพันธ์นั้น ถ้าสมาชิกตัวหน้าเท่ากัน สมาชิกตัวหลังต้องเท่ากันด้วย นั่นคือ ความสัมพันธ์ f จะเป็นฟังก์ชัน ก็ต่อเมื่อ ถ้า (x, y1) ε f และ (x, y2) ε f แล้ว y1 = y2 ถ้าหากว่าความสัมพันธ์ที่กำหนดให้อยู่ในรูปแบบบอกเงื่อนไข การตรวจสอบว่าความสัมพันธ์นั้นเป็นฟังก์ชันหรือไม่สามารถทำได้กลายวิธี ดังต่อไปนี้ วิธีที่ 1 ถ้า r เป็นความสัมพันธ์ซึ่งประกอบด้วยคู่อันดับ (x, y) และมีเงื่อนไข r(x, y) แล้ว ให้นำเงื่อนไข r(x, y) มาเขียนใหม่โดยเขียน y ในรูปของ x และพิจารณาดังนี้ 1) ถ้าแต่ละค่าของ x หาค่า y ได้เพียงค่าเดียว สรุปว่า r เป็นฟังก์ชัน 2) ถ้ามีบางค่าของ x ที่ทำให้หาค่า y ได้มากกว่าหนึ่งค่า สรุปว่า r ไม่เป็นฟังก์ชัน วิธีที่ 2 เมื่อกำหนดความสัมพันธ์ r ซึ่งประกอบด้วยคู่อันดับ (x, y) และมีเงื่อนไข r(x, y) สมมติให้ (x, y) ε r และ (x, z) ε r ดังนั้นจะได้เงื่อนไข r(x, y) และ r(x, z) พิจารณา 1) ถ้าสามารถแสดงได้ว่า y = z จะได้ว่า r เป็นฟังก์ชัน 2) ถ้ากรณีที่มี y ε z จะได้ว่า r ไม่เป็นฟังก์ชัน วิธีที่ 3 โดยใช้กราฟ กำหนดกราฟความสัมพันธ์ r ให้ลากเส้นตรงที่ขนานกับแกน Y และให้ตัดกราฟของความสัมพันธ์ r พิจารณา 1) ถ้าเส้นตรงแต่ละเส้นตัดกราฟของ r ได้เพียงจุดเดียวเท่านั้น จะได้ว่า r เป็นฟังก์ชัน 2) ถ้ามีเส้นตรงบางเส้นตัดกราฟของ r มากกว่าหนึ่งจุด จะได้ว่า r จะไม่เป็นฟังก์ชัน กำหนดให้ f เป็นฟังก์ชัน เรามีข้อตกลงเกี่ยวกับการเขียนสัญลักษณ์ ดังนี้ (x, y) ε R จะเขียนแทนด้วย y = f(x) เรียก f(x) ว่าค่าของฟังก์ชัน f ที่ x หรือเรียกว่าภาพฉาย (image) ของ x ภายใต้ฟังก์ชัน f อ่าน f(x) ว่า เอฟของเอ็กซ์ หรือ เอฟที่เอ็กซ์ หรือเรียกสั้นๆ ว่า เอฟเอ็กซ์ เราจะพบการใช้สัญลักษณ์เกี่ยวกับฟังก์ชันอยู่ 2 ลักษณะที่สำคัญคือ การเขียน f และ f(x) ซึ่งมีความแตกต่างและการนำไปใช้ดังนี้ 1) การเขียน f จะเป็นการกำหนดชื่อฟังก์ชัน (คล้ายการกำหนดชื่อเซต) เช่น กำหนดให้ f เป็นฟังก์ชัน เป็นต้น การเขียน f จะเขียนในรูปเซตแบบแจกแจงสมาชิก หรือว่าเซตแบบบอกเงื่อนไขก็ได้ เช่น f = {(2, 5), (3, 7), (4, 9)} หรือ f = {(x, y) | y = 2x + 1} เป็นต้น 2) การเขียน f(x) จะเป็นการนิยามฟังก์ชัน f ว่ามีเงื่อนไข หรือลักษณะอย่างไร กำหนดให้เป็นอย่างไร มักเขียนในรูปนิพจน์ทางคณิตศาสตร์ (ประโยคสัญลักษณ์) แสดงความสัมพันธ์ตั้งแต่ 2 ตัวแปรขึ้นไป และมักเขียนในรูปสมการ เช่น f(x) = 2x + 1 หรือบางครั้งอาจเขียน y = 2x + 1 ให้เข้ใจว่า การนิยามฟังก์ชัน f จะเขียนให้อยู่ในรูป y = f(x) ดังนั้น นักรเยนจะพบเสมอว่า ในโจทย์ปัญหาเกี่ยวกับฟังก์ชันโดยทั่วไป มักจะขึ้นต้นในทำนองว่า “กำหนดให้ f เป็นฟังก์ชันซึ่งนิยามว่า f(x) = …” เป็นต้น ดังนี้แล้ว พึงระลึกถึงและนำไปใช้ให้ถูกต้องด้วยความเคร่งครัดและระมัดระวัง พีชคณิตของฟังก์ชัน หรือ การดำเนินการของฟังก์ชัน (Algebric Function or Operation of Function) ฟังก์ชันประกอบ หรือ ฟังก์ชันคอมโพสิต (Composite Function) ตัวผกผันของฟังก์ชัน หรือ ฟังก์ชันอินเวอร์ส (Inverse of Function) ฟังก์ชันจากเซตหนึ่งไปยังอีกเซตหนึ่ง กำหนดให้ A และ B เป็นเซต f จะเป็นฟังก์ชันจาก A ไป B (function from A to B) ก็ต่อเมื่อ 1) f เป็นฟังก์ชัน 2) Df = A 3) Rf ε B สัญลักษณ์ f เป็นฟังก์ชันจาก A ไป B จะเขียนแทนด้วย f : A → B อ่านว่า f เป็นฟังก์ชันจาก A ไป B ฟังก์ชันจาก A ไปทั่วถึง B f จะเป็นฟังก์ชันจาก A ไปทั่วถึง B (function from A onto B) ก็เต่อเมื่อ 1) f เป็นฟังก์ชัน 2) Df = A 3) Rf = B สัญลักษณ์ f เป็นฟังก์ชันจาก A ไป B จะเขียนแทนด้วย f : AB หรือ f : AB อ่านว่า f เป็นฟังก์ชันจาก A ไปทั่วถึง B ฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งจาก A ไป B ฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งจาก A ไปทั่วถึง B ฟังก์ชันเชิงเส้น (Linear Funtion) ฟังก์ชันพหุนาม (Polynomial Function) ฟังก์ชันขั้นบันได (Step Function) ฟังก์ชันเอกซโพเนนเชียล (Exponential Function) ฟังก์ชันลอการิทึม (Logarithm Function) ฟังก์ชันตรีโกณมิติ (Trigonometry Function) ฟังก์ชันค่าสัมบูรณ์ (Absolute Value Function)